O valor do Pi é 3.14159… mas o valor do Pi é um número irracional e não é possível determinar um padrão nos dígitos de Pi que se repita infinitamente — embora todas as sequências de números se encontrem algures no número Pi. Um número irracional é aquele em que não é possível representar pela divisão dois números inteiros.
Então como calcular o valor de Pi? Qual o significado de Pi?
Conteúdo:
- Uma introdução a Pi
- 1) Um pouco da História antiga de Pi
- 2) Calcular Pi com berlindes
- 3) Calcular Pi com fósforos
- 4) Calcular Pi com Computadores
Uma introdução a Pi
Pi é o rácio entre o perímetro e o diâmetro de uma circunferência. pi=P/D
A primeira definição que provavelmente aprendemos na escola sobre Pi tem a ver com a determinação do perímetro de uma circunferência de diâmetro 1. O valor do perímetro desta circunferência é o valor de Pi e daqui surge logo a primeira forma de determinarmos o seu valor. Desenha-se uma circunferência com um compasso cuja amplitude seja 0.5 e o perímetro será de 3.14… (as unidades são arbitrárias) que teria que ser medido com um cordel pousado sobre o perímetro. Ora este método não é muito preciso e já no passado se sabia que o valor de Pi poderia ser calculado desta forma.
1) Um pouco da História antiga de Pi
Claro que na história já havia uma ideia do valor de Pi. Os Babilónios antigos tinha ideia de que o valor de Pi seria próximo de 3 e há um gravação onde é indicado o valor de 3.125. Por seu lado, os egípcios determinavam a área do círculo como [(8d)/9)^2 (com d igual ao diâmetro) o que dá um valor de Pi de 3.1605.
Arquimedes de Siracusa por seu lado percebendo que não podia determinar o valor exacto de Pi através de um número racional decidiu enquadrá-lo entre dois números racionais. Segundo ele, Pi estaria no intervalo [223/71, 22/7]. O método geométrico consistia na utilização de poligonos que eram inseridos ou que cobriam a circunferência. Desta forma era possível obter um intervalo para o valor de Pi.
Até na Bíblia aparece uma referência indirecta de Pi como sendo igual a 3 (ver passagem sobre o mar de bronze onde para uma circunferência de dez côvados de diâmetro era preciso usar um fio de trinta côvados para medir o perímetro).
No século XVI e XVII a cálculo de Pi beneficiou dos recentes avanços matemáticos na domínio séries infinitas permitindo o cálculo de Pi com muito maior precisão que os métodos geométricos utilizados até então. Na Europa James Gregory em 1671 e Leibniz em 1674 redescobriram uma série infinta de Madhava de Sangamagram em que
Esta fórmula é igual a Pi/4 quando z=1, mas converge lentamente pelo que John Machin apresentou em 1706 uma fórmula que converge muito mais rapidamente e que é a fórmula usualmente utilizada no cálculo de Pi nos computadores modernos:
Se expandirmos a fórmula em série, apenas com 4 parcelas é possível ter um erro na 6 casa decimal. Nada mau.
Foi também no século XVIII que a letra grega π foi introduzida para designar este valor, tendo a sua utilização sido popularizada por Eüler.
Podem experimentar a comparação dos dois valores com o seguinte código em python:
def arctan(z, it): out=0.0 for a in range(1,it+1): p=2*a-1 s=1 if a%2==0: s=-1 out+=s*(z**p)/p return out for a in range(1,5): print 4*arctan(1.0,a), 4*(4*arctan(1.0/5,a)-arctan(1.0/239.0,a)) |
2) Calcular Pi com berlindes
Mas há outras razões que também dão Pi, uma delas é a que permite o cálculo de Pi através do atirar berlindes para dentro de uma caixa. Imagine que tem uma caixa quadrada e uma hula-hoop que encaixa perfeitamente dentro desta caixa. Se atirarmos berlindes para dentro da caixa de forma a que caiam aleatoriamente, calcularmos a fracção dos berlindes que caíram dentro do círculo e multiplicarmos por 4 temos uma aproximação de Pi.
A razão pela qual isto funciona tem a ver com o facto da razão entre as área do círculo e do quadro que o inscreve estarem relacionadas por Pi/4 (π.r^2/4.r^2= π/4). Se tiver paciência experimente lançar 400 berlindes para dentro da caixa e verifique. Claro que uma forma mais simples é fazê-lo através de um programa de computador. Por exemplo o código seguinte escrito em python lança o equivalente a 400 000 berlindes para fazer uma estimativa de Pi.
import random pi=0 for a in range(400000): x=random.random() y=random.random() if x**2+y**2<1: pi+=1 print "Estimativa de Pi", pi / 100000.0 |
3) Calcular Pi com fósforos
Uma outra forma de calcular Pi é a partir de fósforos (quantos mais melhor) e um cartolina. Desenhe na cartolina linhas horizontais paralelas com uma distância entre si igual ao tamanho dos fósforos. Depois atire da forma mais aleatória possível os fósforos para cima da cartolina. Duas coisas podem acontecer: ou os fósforos tocam uma linha (não podem tocar as duas linhas ao mesmo tempo) ou não tocam em linha nenhuma. Agora é só uma questão de contar. Conte o número de fósforos que atirou (N) e o número de fósforos que cruzaram linhas (C). Depois, o valor de Pi é aproximado por $latex 2\times N/C$. Este método é também conhecido como o método da agulha de Buffon. O Conde de Buffon viveu no século XVIII e foi um naturalista francês que ainda antes Darwin apresentou ideias sobre a evolução das espécies.
4) Calcular Pi com Computadores
Hoje em dia o cálculo de Pi é feito por computadores através de diferentes estratégias de computação do valor de Pi. O número de dígitos calculados atinge valores para lá do racional (perdoem a chalaça) na ordem dos 10 triliões (10^13). Tanta precisão é inútil para aplicações práticas mas o software desenvolvido para fazer estes cálculo é muito utilizado para benchmarks de computadores e como testes de stress de máquinas pela comunidade de Overclocking.
O princípio básico do cálculo de Pi através de computadores é através de aproximações numéricas de séries infinitas. Os recordes mais actuais são batidos utilizando normalmente o algoritmo de Chudnobsky
Algum software para calcular Pi: